作者并非老师,在辅导孩子数学的这几年中,感觉到现在的数学教学都是切片式的数字圆圈符号1到30,每个年级讲一点,时间跨度很大,孩子在学习过程中死记硬背,对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程,有别于教科书和参考书那样,仅仅是对知识点的罗列,会对每个知识点进行详细的说明,并给出证明过程(这点学校在教学过程中比较缺失)。希望能帮助同学们更好地融会贯通。
点和圆的位置关系有三种:
点在圆外(N),⇔ NO>r点在圆上(P),⇔ PO=r点在圆内(M),⇔ MO
注:“⇔”是数学中的等价符号,即符号左边可以推导到右边,符号右边也可以推导到左边,符号两边完全相等。
点和圆的位置关系经常涉及到初中几何中比较难的动点问题。我看了一下初中教科书数字圆圈符号1到30,发现并没有对以上三点进行证明。
证明:圆内一点到圆心的距离小于该圆的半径。
过点M做MO的垂线,由于M是圆O内一点,该垂线必然交圆O于A,B两点,连接AO和BO,构成2个直角三角形。则可以得到AO>MO,且A在圆上,AO=r(圆的半径),
∴ MO < r
证明完成
通过以上证明,我们还可以得到另一个结论:
如果经过一点M的直线与圆O相交于两点A,B,且A,B位于点M两端,则M点在圆O内。
圆外一点到圆心的距离大于半径,比较容易证明,同学们可以自己想一下。
接下来讨论两个比较重要的性质,如图,圆外一点M到圆心O的直线(MO)与圆相交于A和B两点,
其中:
证明如下:
使用反证法,如果A不是M到圆O的最长距离,那么必然存在另外一个圆上一点A'使得MA'是最长距离,且A'不在直线MO上,连接M A'和O A',则在ΔMA'O中必然存在:
MA' < MO+OA'(三角形两边之和大于第三边),且OA'=OA,∴ MA' < MA,与假设矛盾。
∴ MA是最长距离。
证明完毕。
证明如下:
使用反证法,如果B不是M到圆O的最短距离,那么必然存在另外一个圆上一点B'使得MB'是最短距离,且B'不在直线MO上,连接MB'和O A',通过B'作MO垂线交MO于C点,且C点位于圆O内,可得MC>MB,在直角三角形ΔMBC'中,MB'>MC>MB,与假设矛盾。
∴ MB是最短距离。
证明完毕。
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