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【例题】已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【图文解析】
（1）在已有圆的情况下，证切线常有两种方法：点（圆上的点）是否明确，若明确，则作过这点的半径，证垂直；若不明确，则过圆心作垂线段，证垂线段＝半径。本题明确点D在圆上，属于明确，因此可连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明OD⊥DF（即∠FDP=90°）即可.（多种证法，仅提供最常用的两证法）
法一：如下图示，
法二：连接BD，如下图示，
根据等腰三角形“三线合一“和三角形的”中位线“定理，不难证得OD∥BC，从而∠ODF＝∠DFC＝900，…….
（2）也有多种解法（仅提供一种解法），如下图示：
（3）显然需转化为规则图形的面积相减，因此可再连接OE，如下图示：
不难求得CF，EF的长和∠DOE＝600扇形面积公式，再利用S阴影＝S直角梯形FDOE﹣S扇形OED即可得到所求得阴影部分的面积．
详细过程如下：
【解答】（1）连接DO．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，
即OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线.
【反思】此题的解题思路均为常见常用.
【练习】如图，在△ABC中，∠BAC=105°，∠B=45°，AB＝2×根号2，AD⊥BC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧EF，求图中阴影部分的面积．
【上期答案】
【原题呈现】如果一个圆锥的侧面积等于底面积的3倍扇形面积公式，求这个圆锥的展开图的圆心角．
【图文解析】
此类题最好先画出圆锥的侧面的展开图，再设元，再利用扇形面积和弧长公式，列出相关的代数式，从而得到正确答案.如下图示：
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