本文授权自公众号数学模型（ID:MATHmodels）
引言
西安大唐不夜城“不倒翁”女孩街头表演的视频曾一夜走红网络。在大唐不夜城步行街，“不倒翁”小姐姐身姿轻盈，一颦一笑令人梦回唐朝。
图 1. 小姐姐成名作：把手给我
图 2. 是不是也被这小眼神迷倒了
尽管很美，但其实小姐姐表演得很辛苦。别只看到小姐姐在演出时体态轻盈、游刃有余，这背后可是下足了苦功夫。
图 3. 带 T 型架的底座，重达 250 公斤
大唐不夜城的真人不倒翁演员都是经过层层选拔的，女性演员身高要在 163 厘米左右角速度，体重不超过 50 公斤。因表演需要将下半身完全固定在如图 3 所示的铁架子上，仅靠腰部发力运作不倒翁的底座，扮演不倒翁的演员每天表演完，胯和膝盖都会被磨青。
不倒翁，是一种最常见的玩具。通常形状像一个蛋型、上轻而下重，扳倒后还能自动竖立起来。历史最早记载唐代的捕醉仙就是一种不倒翁。不倒翁不倒的原理并不难以理解：上轻下重的物体比较稳定，重心越低越稳定。当不倒翁在竖立状态处于平衡时，重心和接触点的距离最小，即重心最低。偏离平衡位置后，重心总是升高的。因此，这种状态的平衡是稳定平衡。所以不倒翁无论如何摇摆，总是不倒的。
图 4. 不倒翁原理。左：不倒翁在竖立时重心最低；右：不倒翁偏离平衡位置后重心升高
但不倒翁究竟是如何运动的呢？小姐姐又是如何操控不倒翁，让其自由的摇摆呢？本文将建立不倒翁小姐姐的数学模型，研究不倒翁的运动方程，并通过计算给出小姐姐摇晃的最佳策略。
模型
先不考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力，建立一个简单的不倒翁模型。在此基础上，再建立一个考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力的模型。
简单的不倒翁模型
我们把不倒翁简化为仅在二维平面（图 5 中的平面）内运动的半球。半球和地面均为刚性，两者无滑移。如图 5 所示的半球，其质量为，质心为，半球球心为。
图 5. 半球的质心
容易求得半球质心位置和对轴的转动惯量
若该半球某时刻的位置如图 6 所示，为半球重力，地面对半球的支撑力和摩擦力分别为和。
图 6. 半球运动和受力分析图
为了确定运动方程，需要知道半球是如何运动的。我们用与垂直方向的角度变量来描述半球的状态。考虑点和的坐标
因此，质心的速度为
其中和是和对时间的一阶导数。将点速度对时间求导数，得到质心的加速度
现在让我们通过考虑作用在物体上的所有力来研究运动方程。运动方程不仅要考虑刚体的平动，还必须考虑到关于质心转动：
有三个方程，却有四个未知数（，，，）。要求解这个问题，还需要一个描述接触条件的表达式。对于不倒翁，假设半球与地面接触点没有滑移，则有
从而可得：上式微分方程也可由欧拉-拉格朗日方程导出，感兴趣的读者可自行尝试。上式微分方程可由 MATLAB 函数 ode45 函数给出数值解，并结合式可完全确定不同时刻半球的位置和角度。计算结果如图 7 所示。
图 7A. 理想不倒翁模拟动画
图 7B. 角度、角速度和质心高度随时间的变化。
模拟结果表明，如果地面没有滚动阻力（机械能守恒），不倒翁将不停的摇摆。角度为 0 时速度，角速度最大，重心最低。
不倒翁小姐姐模型
在前文中，本文仅给出了一个不倒翁玩具在理想地面上的运动状态。而实际上不倒翁小姐姐的底座在摇晃的过程中是受到滚动阻力的，小姐姐的腰部在不停地扭动。为了了解小姐姐到底是如何将不倒翁摇晃起来的，接下来将建立一个考虑滚动阻力和小姐姐摇晃的模型。
根据网络上的视频和图片，假设整个不倒翁底座重kg，是由质量为kg，半径为m，厚为m 的铁制半球形圆壳和质量为kg，半径为的球缺（）配重以及支架（忽略支架的质量）组成。小姐姐身高，体重。如图 8 左图所示。
图 8. 不倒翁小姐姐模型图
实际摇晃过程中，小姐姐只能通过摇晃上半身带动底座摇晃。因此可将小姐姐简化为两个由铰链连接的圆柱（图 8 中图）。假设小姐姐的密度为，则容易求得圆柱半径为m。假设小姐姐腰以下长m，腰以上长m。小姐姐的腰部以下固定在 T 字型支架上角速度，因此我们将小姐姐的下半身与底座看成一体（图 8 右图），质量为kg，转动惯量为。小姐姐上半身质量为kg，转动惯量为。
图 8右图是对两部分的受力分析，将小姐姐上半身对下半身的作用力简化为力和力偶矩。在底座实际滚动过程中，由于地面和底座的变形，地面对底座的支撑力的作用点并不在点，偏离距离可由滚动阻力系数给出。与简单的不倒翁模型类似，我们可以定义出、、、和的坐标、速度和加速度，然后分别给出系统两部分的动力学方程，对于底座和小姐姐的下半身组成的整体有对于小姐姐的上半身有根据以上六式以及可以求解出，由于表达式比较复杂，这里不再列出。小姐姐可以通过来控制，即小姐姐可以通过摇晃上半身来使整个不倒翁底座摇晃起来。假设小姐姐摇晃的随时间的变化满足：其中为摇晃幅度，为摇晃周期。
求解
经过我们的分析，终于得到了小姐姐的摇晃方程。可有人说看不懂方程，也不想看方程，就要看小姐姐摇。没办法，为了满足读者的要求，我们只好写段 MATLAB 程序模拟一下。不倒翁底座的摇晃方程可以由 ode45 函数直接求解，但为了加快程序运行速度并实时显示，使用了 Euler 法求解，时间步长取s。模拟的主要步骤如下：
为了模拟的视觉效果，我们还需要动态展示出结果。为此专门写了一个函数用来画底座半圆和小姐姐。绘制结果如图 9 所示。很多人看了我画的小姐姐，表示震惊：实在是太像了，将小姐姐妙曼的身姿展现得淋漓尽致，这大长腿，这伸出的纤纤玉手。
图 9. 小姐姐和半个球
根据运动方程，算出某时刻半圆心的位移以及角度后，需要对半圆和小姐姐进行平移和旋转，平移容易。旋转可根据以下公式进行：以上公式将点绕旋转 角。将以上公式写成 MATLAB 函数 rotxy。
结果
为了研究小姐姐究竟是如何通过摆动上半身将底座摇晃起来的。我们研究了不同情况下，底座摇晃的规律。
若小姐姐不摇晃，即摇晃幅度，并且没有滚动阻力，即，则模型退化为简单的不倒翁模型，对于，结果如图 10 所示。
图 10A. 没有滚动阻力，小姐姐不摇的模拟动画
图 10B. 没有滚动阻力，小姐姐不摇时角度和腰部受力变化
结果表明，即使小姐姐不摇晃，小姐姐的腰也受到周期性的作用力。若加入滚动阻力的考虑并假设，则结果如图 11 所示。
图 11A. 有滚动阻力，小姐姐不摇的模拟动画
图 11B. 有滚动阻力，小姐姐不摇时角度和腰部受力变化
结果表明，在滚动阻力的作用下，不倒翁底座会逐渐停止摇晃。也就是说，在实际情况中，想要保持不倒翁底座的摇晃，小姐姐必须持续不断的摇晃身体。
接下来我们讨论小姐姐摇晃身体的周期对不倒翁底座运动的影响。假设小姐姐摇晃身体的幅度。研究表明，小姐姐身体的摇晃与不倒翁底座的摇晃之间会产生共振效应，当小姐姐摇晃身体的周期s 时，不倒翁底座摇晃的幅度最大，结果如图 12 所示。
图 12A. 小姐姐摇晃周期为 2.18 s 的模拟动画
图 12B. 小姐姐摇晃周期为 2.18 s 时角度和腰部受力变化
而更小的周期（如s，结果见图 13）或更大的周期（如s，结果见图 14）都不能让不倒翁底座大幅度地摇晃。
图 13A. 小姐姐摇晃周期为 1 s 的模拟动画
图 13B. 小姐姐摇晃周期为 1 s 时角度和腰部受力变化
图 14A. 小姐姐摇晃周期为 3 s 的模拟动画
图 14B. 小姐姐摇晃周期为 3 s 时角度和腰部受力变化
结论
参考资料
[1]曲江新区，不倒翁小姐姐的秘密终于藏不住了:
[2]百度百科，冯佳晨:冯佳晨/24144236
[3]南京晨报，西安“不倒翁”女孩的表演走红网络，大家都想牵她的手！:
[4]Roly-poly toy — Wikipedia, The Free Encyclopedia:
[5]Mass moment of inertia of a hemisphere:
[6]Euler–Lagrange equation — Wikipedia, The Free Encyclopedia:
[7]Body composition during growth in children: limitations and perspectives of bioelectrical impedance analysis:
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