编者按：“儿子分羊”的故事相信很多人都看过，它有很多不同的版本。当我第一次看到这个故事时，不禁为其中巧妙的构思拍案叫绝，但是我从来没有像张景中院士想得那么深入。本文节选自中国科普名家名作《帮你学数学》第40至56页，张景中著，中国少年儿童出版社。读完相信你一定有不一样的收获。标题为本号编者所加。
聪明的邻居
你看过“儿子分羊”的故事吗？
这个故事是在阿拉伯民间开始流传的。后来，它传到了世界各国，一次又一次地被编到各种读物中。
故事是这样的：从前有个农民，他有17只羊。临终前，他嘱咐把羊分给3个儿子。他说：大儿子分一半，二儿子分1/3，小儿子分1/9，但是不许把羊杀死或者卖掉。3个儿子没有办法分，就去请教邻居。聪明的邻居带了1只羊来给他们，羊就有18只了。于是，大儿子分1/2，得9只；二儿子分1/3，得6只；小儿子分1/9，得2只。3个人共分去了17只，剩下的1只，由邻居带了回去。
这个故事，构思巧妙，情节有趣，已经在全世界广泛流传千年之久了。
在流传中，人们有时把其中的数改变了，故事照样讲得通。我小的时候，就听到过类似的故事：农民不是有17只羊，而是有11匹马；他给3个儿子规定的分配方案是1/2，1/4和1/6。邻居牵来了1匹马之后，一共12匹马。于是，大儿子分到6匹，二儿子分到3匹，小儿子分到2匹。剩下的1匹，仍然可以还给邻居。
有没有不这么凑巧的情况呢？
我们来试试
模仿是学习的开始。
现在，让我们来改动一下这个故事里的数，看看结果会怎样呢？
假设农民还是有17只羊，还是给3个儿子分，还是大儿子分1/2，二儿子分1/3，只是小儿子不是分1/9，而是分1/6了。要是我学习故事中的邻居，牵了1只羊送去，结果呢？
结果是大儿子得9只，二儿子得6只，小儿子得3只。18只羊给分光了，我损失了1只羊。
会不会发生相反的情况呢？会的。
假设农民对17只羊的分配方案是：大儿子1/3，二儿子1/6，小儿子1/9。要是你送1只羊去，大儿子的1/3是6只，二儿子的1/6是3只素数是什么意思，小儿子的1/9是2只。这时，18只羊还剩下7只。你要牵走这7只羊，一定会发生一场纠纷。
可见，想要充当故事里的聪明角色，并不是那么容易的。模仿也得动脑筋，要先弄清楚道理，再精打细算，才能避免失败，免得叫人哭笑不得。
要是你忘记了农民有多少只羊，也记不清分配方案，又想向别人讲这个故事，应当怎样把这些失去了的数找回来呢？
列方程求解
你想到列方程了。这个办法好。
要列方程，得先把问题的数学意思，一条一条地弄清楚。
一、农民有n只羊。n是未知的正整数。
二、农民要求大儿子分1/x，二儿子分1/y，小儿子分1/z。x，y，z也是3个未知的正整数。在这3个未知数中，因为1>1/x>1/y>1/z，所以1
三、牵来1只羊后，羊就能够分配了。这就是说，x，y，z都能整除n+1。
四、3个儿子分过之后，还剩下1只羊。
根据这些条件，我们就可以来找等量关系，把方程列出来。
大儿子分了多少羊呢？分了n+1的x分之一，即
。同样，二儿子和小儿子分别分到了
。3个儿子共分了多少羊呢？当然是n只羊。
这样，我们就列出了方程：
两边用n+1除，得到
移项，得到
换个符号，设n+1=w，得到
这里，x，y素数是什么意思，z，w都必须是正整数，而且还得满足两个条件：
一个是1
一个是x，y，z都要能整除w。
方程到手了。
这个方程，含有4个未知数，附加两个条件，是什么方程呀？
这种未知数个数比等式个数多的方程，叫做不定方程。不定方程常常带一些附加条件 ，作为求解的依据。
根据这个不定方程和它的两个附加条件，就是要找出4个正整数，它们的倒数凑起来恰巧是1；而且其中有一个（w），是另外三个（x，y，z）的整数倍。
这样的方程好解吗？
其实并不难
看来似乎无法下手的问题，想清楚了，原来解题的思路很简单。
我们知道，报名参加跑100米的同学很多，举办单位就可以采用初赛、复赛的办法，来选拔优胜者。
解方程
也可以用这种方法。这就是先根据一部分条件，选出符合要求的；然后，再根据其他条件，淘汰不符合要求的，留下符合要求的。这样一步一步地选拔，最后就可以把x，y，z，w的值，全部求出来。这是解不定方程常用的方法。
好。我们分两步走，先找出那些使等式成立的正整数x，y，z，w；然后，从中间再选，把那些满足x，y，z整除w的找出来。
你看，x是大于1的正整数，它最小是2。最小是2，最大是多少呢？x越大，1/x越小。因为y，z，w都比x大，所以1/y，1/z，1/w都比1/x小。不过，它们又不能太小，太小了，加起来就凑不够1了。一琢磨，1/x不能比1/3更小，也就是x不能大于3。
为什么呢？
这样，x不是2，就是3了。也就是说，想要故事讲得通，大儿子必须分到1/2或者1/3，不能再少了。
x定下来，就只有3个未知数了。
设x=2，代入
得
根据刚才1/x不能太小的道理，1/y也不能太小。
这样，当大儿子分1/2时，二儿子只能分1/3，或者1/4，1/5，不能再少了。
设x=3，得
根据同样的道理，得
即y=2，3，4。
y=2，3，就小于或者等于x了，不合题意，去掉，得y=4。
按照这种办法，我们便可以一步一步，把各种可能的分配方案都找出来。
先想想再看
要是你已经求出全部的解，就不必看这一节了。
这个不定方程有7组解。
找寻这些解的方法，可以用一棵“推理树”表示出来。树根就是1
树上5个虚线所指，或者因为y=z，或者因为w不是整数，或者因为z不能整除w，都不合题意，应该去掉。这样，我们就把这个故事的7种讲法，全部找出来了：
推理树简捷可靠，一目了然，所以有人又把它叫做“智慧树”。
这不算麻烦
你可能觉得这个题目太麻烦了。一个简单的智力游戏，要把它弄清楚，竟有这么多的歪拐曲折。
其实，这算不了什么。很多数学问题，比它要麻烦得多得多。
我国数学家吴文俊，在一篇论文中提出了用机器证明几何题的方法。文章中用到了一平面几何定理作为例题，光是这一个例题，他就演算了一个月之久。
1903年，在纽约的一次科学报告会上，数学家科尔作了一次不说话的报告。他在黑板上算出了 ，又算出了193707721×761838257287，两个结果相同。他一声不吭地回到座位上，全场响起了热烈的掌声。原来，他这就回答了一个200多年来没有弄清楚的问题： 是不是素数？他的演算证明了 是一个合数。这几分钟的无声报告，是他花了3年中的全部星期天得到的。
至于陈景润，为了研究哥德巴赫猜想，写了一麻袋一麻袋的草稿，这是我们早已知道的了。
所以，你碰到复杂的数学题，既要巧妙构思，寻找简捷的方法，又要步步为营，不怕反复计算。许多简捷的方法，就是人们经过大量的反复计算之后，才总结出来的。
思考题
假设故事中的农民有4个儿子，类似的问题该怎么解？要是邻居牵来2只羊，又该怎么办？
RECOMMEND READING
推/荐/阅/读
《帮你学数学——张景中献给少儿的礼物》，张景中著，中国少年儿童出版社。
内容简介：本书从几十个小故事或贴近生活的小话题说起，讲讲数学里的一些基本的道理。还有五猴分桃、先有鸡还是先有蛋等名题的巧思妙解。本丛书力求形成直白通俗与含蓄深奥的完美结合，让读者容易进入而难于舍弃。它可以当作休闲娱乐的书籍随便翻翻，有助于排遣工作疲劳；也可以作为教师的参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；还可以作为学生的课外读物，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。
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