考点2 集合的基本运算
【基础回顾】
一、课本基础提炼
1．集合的基本运算：交集、并集、补集.
二、二级结论必备
1．常用集合关系的结论：
（1）
（2）
（3）CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）；CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）
【技能方法】
1．并集、交集、补集的简单运算:
集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算．此类题目首先应看清集合中的元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集、补集的定义直接观察或用 图表示集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可以借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不再集合中时，应该用“空心圈”表示．
例1 （1）若集合A={2，4，6，7}，B={3，4，5，7}，则A∩B=____．
（2）集合
则A∩B=_____，A∪B=______，（CRA）∩B=______．
【答案】（1）{4，7}；（2）A∩B={x|1＜x≤2}，
A∪B={x|x＜-3或x≥-2}，（CRA）∩B={x|-2≤x≤1}.
【解析】
（1）A、B的共同元素为4、7，所以A∩B={4，7}.
（2）因为A={x|(x-1)(x+3)＞0}={x|x＜-3或x＞1}
B={x|4-x2≥0}={x|-2≤x≤2}在数轴上画出A、B，
所以，A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B={x|x＜-3或x≥-2}，
（CRA）∩B={x|-2≤x≤1}．
【点评】集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再利用数轴，根据交、并、补的定义进行运算．
2．已知集合的交并集求参数的取值范围
依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关集合交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．
例2 已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜-1或x＞5}，若
，求a的取值范围．
【解析】
由
（1）若
，有2a＞2+3，所以a＞3．
（2）若
，如下图：
综上所述， 的取值范围是
【点评】
由
，则要考虑
两种情形，这样才不会漏解．
3．交并集性质的应用
在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B=A，A∪B=B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析，如
，
例3设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}．
（1）若A∩B=B，求a的值．
（2）若A∪B=B，求a的值．
【解析】A={-4，0}．
（1）∵A∩B=B，∴
．
①若0∈B，则
．
当a=1时，B=A；当a=-1时，B={0}；
②若-4∈B，则
当a=7时，B={-12，-4}，
③若
．
由①②③得，a=1或a≤-1.
（2）∵A∪B=B，∴
∵A={-4，0}，又因为B中最多只有两个元素，
∴A=B．
由（1）知a=1．
【点评】
要注意条件等价转化的运用，常见转化有
.
4．补集的思想的应用
对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解答时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探索已知与未知之间的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．
例 4 若集合A={x|ax2+3x+2=0}中最多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】
假设集合A中含有两个元素，即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根，则
，解得a＜9/8且a≠0，则a的取值范围是{a|a＜9/8且a≠0}.
在全集U=R中高一集合练习题，集合{a|a＜9/8且a≠0}的补集是{a|a≥9/8或a=0}.
所以满足题意的a的取值范围是{a|a≥9/8或a=0}．
【点评】
集合A中的元素包含0个或1个，若采取分类讨论的策略，所分情况比较多，求解比较麻烦，构造其“补集”：集合A中含有两个元素，然后再求其补集，问题就得到了简化．
【基础达标】
1．【2015吉林三模】设全集U=N*，A={2，3，6，8，9}，B={x|x＞3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．{2}B．{2，3} C．{1，2，3}D．{6，8，9}
【答案】B
【解析】A∩B={6，8，9}，所以图中阴影部分所表示的集合是{2，3}，故选B．
2．【2015高考四川，理1】设集合A={x|(x+1)(x-2)＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）
A．{x|-1＜x＜3}B.{x|-1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
【答案】A
【解析】A={x|-1＜x＜2},B={x|1＜x＜3}，∴A∪B={x|-1＜x＜3}，故选A.
3．集合
，B={y|y=2x+1，x∈R}，则CR(A∩B)=（）
A.（-∞，1]B. （-∞，1）C. （0，1]D. [0，1]
【答案】A
【解析】
B={y|y=2x+1，x∈R}=（1，+∞）
∴A∩B=(1，+∞)，CR（A∩B）=（-∞，1]，故选A.
4．已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（）
A．-1B．0C．1 D．2
【答案】D
【解析】∵A∪B=R，A={x|x＞1}∴B={x|x＜m}要包含所有的小于等于1的实数，因此m＞1，故选D.
5．若集合M={x|x2+x-6=0}，N={x|ax-1=0}，且N∪M=M，则实数a的值为________．
【答案】0或-1/3或1/2
【解析】
M={x|x2+x-6=0}={-3，2}，由题意
当a=0时，
；
当a≠0时，N={1/a}，要使
，则1/a=-3或2，解得a=-1/3或1/2.
综上所述，实数a的值是-1/3或1/2或0.
【能力提升】
1．【2015呼伦贝尔二模】已知
，A={y|y=sinθ，θ∈R}，则P∩Q=（）
A.
B．{0}C．{-1，0}D．
【答案】C
【解析】
，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，
所以Q={y|-1≦y≦1}，所以P∩Q={-1，0}，故选C．
2．【2015济南市高三上学期期末】已知集合M+{x|x2-4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】M={x|x2-4x＜0}=（0，4），N=（m，5），
若M∩N=（3，n），则
则m+n=7，故选C.
3．设集合A={x|a-2＜x＜a+2}，B={x|x2-4x-5＜0}，若
，则实数a的取值范围为（）
A．[1，3]B.（1，3）C．[-3，-1]D．（-3，-1）
【答案】A
【解析】
B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}，因为
，所以
，解得：
，所以实数a的取值范围是[1，3]，故选A．
4．已知集合A={-1，1，3}，B={1，a2-2a}，A∩B=B，则实数a的不同取值个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由题意
，所以a2-2a=-1或a2-2a=3，解得：a=1或a=-1或a=3，所以实数a的不同取值个数为3，故选B．
5．已知
，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且
则a（）
A．-6或-2B．-6C．2或-6D．-2
【答案】A
【解析】
集合M表示去掉一点A（2，3）的直线3x-y-3=0，集合N表示恒过定点B（-1，0）的直线ax+2y+a=0，因为
，所以两直线要么平行，要么直线ax+2y+a=0过点A（2，3）．因此
或2a+6+a=0，即a=-6或-2，故选A.
【终极突破】
1．设常数a∈R，集合A={x|(x-1)(x-a)≥0}
B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A.（-∞，2）B. （-∞，2]C.（2，+∞）D. [2，+8）
【答案】B
【解析】集合A讨论后利用数轴可知，
，解得a≤2，所以 的取值范围是（-∞，2]，故选B.
2．集合A={x|x2+2x-3＞0}，B={x|x2-2ax-1≤0，a＞0}.
若A∩B中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（）
A．（0，3/4）B．[3/4，4/3）
C．[3/4，+∞）D．（1.+∞）
【答案】B
【解析】
由A={x|x2+2x-3＞0}可得A={x|x＜-3或x＞1} ．由x2-2ax-1≤0，a＞0，解得x1≤x≤x2．由韦达定理可得x1＜0，x2＞0．根据题意A∩B中恰含有一个整数u，所以
(舍去,由于a与
很接近)．即
，解得3/4≤a＜4/3，所以实数a的取值范围是[3/4，4/3），故选B．
3．集合A={(x，y)||x|+|y|≤1}，B={(x，y)|(y-x)(y+x)≤0}，集合M=A∩B，若动点P(x，y)，则x2+(y-1)2的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
集合M=A∩B表示平面内由点（0，0），
，（-1，0），
构成的正方形与点（0，0），
，（1，0），
围成的正方形，x2+（y-1）2看作点（x，y）、（0，1）距离的平方高一集合练习题，结合坐标系可知x2+(y-1)2的取值范围是
，故选A．
4．已知集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，
P={（x，y）|y=f（x）}，现给出下列函数：①y=x-a；
②y=㏒ax；③y=sin（x+a）；④y=cosax．若0＜a＜1时，恒有P∩CUM=P，则所有满足条件的函数f（x）的编号是____．
【答案】①②④.
【解析】依题U={（x，y）|x∈R，y∈R}表示整个平面直角坐标系区域，M={（x，y）||x|+|y|＜a}表示如图所示的平面区域，p={（x，y）|y=f（x）}表示平面直角坐标系上函数y=f(x)的曲线，
若0＜a＜1时，恒有P∩CUM=P，则P与M无公共点，依题可知①②④函数的曲线与M均无公共点，对于③，当x=0时，y=sina，又因为sina＜a，所以y=sin（x+a）曲线上的点（0，sina）必定在M表示的平面区域内，即P∩CUM≠P，故应填入①②④.
限 时 特 惠： 本站每日持续更新海量各大内部创业教程，加站长微信免费获取积分，会员只需38元，全站资源免费下载 点击查看详情
站 长 微 信： thumbxmw
