1、数学上的卷积。
关于卷积的背景问题其实并不那么简单，有人觉得卷积与傅里叶分析密切相关，可你是否知道他们之间到底是什么关系？卷积的本质到底是什么？上篇短文从信号处理的角度讲到了卷积的实际背景，这里则是从数学的角度展示卷积的强大威力。
要了解卷积的本质，首先要清楚傅里叶分析到底在说什么？它的核心问题是什么？傅里叶级数大家耳熟能详，不需要我啰嗦了，然而你对傅里叶级数了解到何种程度？如果你仅仅局限于微积分里那点可怜的概念，恐怕你连傅里叶级数的毛也没摸着，
你只是知道了傅里叶级数的简单定义而已。要想真正了解傅里叶级数，就必须熟悉实变函数，因为在傅里叶分析中，一个最基本也是最重要的问题是：
傅里叶级数是否收敛？按什么方式收敛？
这个问题在微积分里是无法搞清楚的，事实上，即使是一个连续函数，其傅里叶级数也可能在某些点发散，我们甚至可以构造出Riemann可积函数，其傅里叶级数是处处发散的。如果你辛辛苦苦把一个函数展开成傅里叶级数∫e^(-x^2)不定积分，却发现它并不收敛，其内心是一种什么感受？大概如同从没有电梯的二十层楼上屁颠屁颠地跑下来却发现没带汽车钥匙。众所周知，Riemann可积函数是一种性质比较好的函数（相对于积分区间几乎处处连续，啥叫几乎处处？微积分是不能告诉你的，想知道吗？老老实实跟我学实变函数
），即使是这样的函数都不能保证傅里叶级数的收敛性，可见问题有多么严重。傅里叶分析是门比较古老的学问，但其中存在的许多问题直到上个世纪中叶依然是大家关注的话题，也正是傅里叶分析中存在的诸多问题悬而未决，促使人们寻求新的方法，这正是泛函分析的萌芽之一。
2、从傅里叶级数到卷积。
卖了半天的关子，到底想说啥？稍安勿躁，一点耐心都没有我还怎么讲？我们就从收敛性问题说起，假设f是以2π为周期的可积函数（以什么为周期不是最重要的），其傅里叶展开为：
f(x)∽∑a_ncosnx+b_nsinnx，
也可以写成指数形式：
f(x)∽∑c_ne^(inx)
其中，
a_n=∫f(t)cosntdt，b_n=∫f(t)sinntdt，c_n=∫f(t)e^(-int)dt，俺无法写出积分上下限，反正你们都知道是个长度为2π的积分区间，现在的问题是如何判断右端的级数是收敛的。记
S_k(x)=∑_{n≦k} a_ncosnx+b_nsinnx=∑_{|n|≦k}c_ne^{inx}，
知道这叫什么吧？它称为级数的部分和，我们的目标是把这个部分和表示出来以便于判断该部分和是否收敛。试图把这个级数的和求出来是徒劳的，你能做到的话，天下就是你的了，不过，我们可以把系数的积分式带进级数将得到：
S_k(x)= ∑_{n≦k}[∫f(t)cosntdtcosnx+∫f(t)sinntdtsinnx]
=∑_{n≦k}∫f(t)(cosntcosnx+sinntsinnx)dt
=∫f(t) [∑_{n≦k}(cosntcosnx+sinntsinnx)]dt
还记得三角公式吧？知道方括号里的和怎么求吗？如果不会，你还有机会，用指数形式的级数再试一次：
S_k(x)= ∑_{|n|≦k}∫f(t)e^{-int}dteinx
=∫f(t) [∑_{|n|≦k} e^{-int}e^{inx}]dt
=∫f(t) [∑_{|n|≦k }e^{in(x-t)}]dt，
最后这个和式会算吗？如果还不会，你就剩下一个机会了，用你那聪明的脑袋对着南墙狠狠撞他十二下，就能唤起你中学时代的美好记忆了。
记D_k（u）=∑_{|n|≦k} e^{inu}，则
S_k(x)= ∫f(t)D_k(x-t)dt。
明白为什么要定义卷积了吗？
现在的问题就变成了判断上述积分是否收敛到f(x)，事情似乎变得简单了，令人无奈的是，上述积分未必收敛到f(x)！那么什么样的函数具有收敛的傅里叶级数呢？按何种方式收敛？这个问题暂且放在一边∫e^(-x^2)不定积分，我们知道很多情况下不收敛就够了，因为要说清楚这个问题的话，需要超出经典微积分的范畴。如此说来，对于傅里叶级数不收敛的函数岂非无能为力？人类就是伟大，有的是办法，S_k(x)不收敛，可以考虑部分和的平均，结果令人喜出望外，部分和的算术平均居然几乎处处收敛！这个算术平均是什么呢？再来算一次，记
F_m(x)=∑_{0≤k≤m}D_k(x)/(m+1)，
将D_k(x)带入可以算出
F_m(x)=(1/2π(m+1))[（sin(m+1)x/2）/sin(x/2)]^2,
于是
∑_{0≤k≤m}S_k(x)/(m+1)= ∫f(t)F_m(x-t)dt，
我们再次得到了一种卷积，Fejer定理告诉我们，上述积分几乎处处收敛到f(x)。
人们将D_k称为Dirichlet核，将F_m称为Fejer核，上述卷积又称为带核的积分。事情到此结束了？非也，这才仅仅是开始，一门影响深远的理论—积分算子理论从此拉开了帷幕。
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