1.Green公式
设为平面有界闭区域,其边界曲线由一条或几条逐段光滑的曲线组成斯托克斯公式,并取的方向为正方向.若以为边界的闭区域上有连续的一阶偏导数,则
「注」 由两类曲线积分间的关系可得:若是由有限条逐段光滑曲线围成的闭区域,在上有连续的一阶偏导数,则
其中取外法线的方向.
2.Gauss公式
设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数在上具有一阶连续偏导数,则有
或
这里是的整个边界曲面的外侧,、、是在点处的法向量的方向余弦.
3.Stokes公式
设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数,,R(x,y,z)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数,则有
利用两类曲面积分间的联系,可得斯托克斯公式的另一形式
其中为有向曲面在点处的单位法向量.
4.空间曲线积分与路径无关的条件
设函数,和在空间一维单连域内具有一阶连续偏导数,则下列4个命题是等价的:
(1)对于内任一分段光滑曲线,积分的值只与的起点与终点有关,而与曲线无关;
(2)在内是某一函数的全微分,即
此时也称为的一个原函数;
(3)对于内任意点都有
(4)对于内任一分段光滑闭曲线,都有
典型例题
1.设是以点为中心,为半径的圆周逆时针一周,求
「解析」本题的积分曲线是封闭的,可以考虑使用Green公式斯托克斯公式,但是圆的半径大于1,则包围的区域内含有使得被积函数无意义的点(原点),所以要挖去该点,在复连通区域里面用Green公式.
根据被积函数分母的特点,考虑补充闭合曲线充分小不与相交,将其表示为参数式:
则由复连通区域的Green公式可得
2.计算
其中是圆
从轴正向看去为逆时针.
「解析」由Stokes公式可得
交线是平行于平面的,因此,在面上的投影为一条线段,故对的积分为0,所以有
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