触碰标题下面一行的“邵勇老师”查看所有文章；触碰“数学教学研究”, 关注本微信公众号(sx100sy)。本公众号内容均由邵勇本人独创，欢迎转发，但未经许可不能转载。特别声明完全平方数，本人未曾授权任何网站（包括微博）和公众号转载邵勇“数学教学研究”公众号的内容。每周推送两到三篇内容上有份量的数学文章，但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完，轻松学数学。
我们今天要讲的内容是，什么样的正整数可以被表示为两个平方数的差。即下面的方程
在正整数A等于什么的时候，有正整数解。注意，这里的A要求是正整数，而x和y也是正整数。显然，x^2>y^2，x>y，不可能x=y。并且，再请注意，这里并非要解上面的方程，而是要确定A取什么值时完全平方数，方程有解。在有解的情况下具体怎么求解，后面也会顺便讲到。
好的，我们先试一试，找一找感觉。取A=3。3可以写成3=4－1，其中的4和1都是平方数（完全平方数）。所谓平方数就是指像1,4,9,16,25, …这样是某个正整数的平方的数。4等于2的平方，1等于1的平方。再比如，取A=12。12=16－4，即12等于4的平方减去2的平方。
我们下面具体来研究什么样的正整数可以写成两个数的平方差，即两个平方数的差（我们若说“两数的平方差”，这时的两数是x和y；若说“两个平方数”，则是指x^2和y^2）。把上式改写成（这是解决问题的关键所在）：
x＋y与x－y显然是同奇偶性的，即同为偶数或同为奇数。这个不难理解，因为两者的差等于2x，是偶数，而只有两个偶数的差或两个奇数的差才会是偶数。一个偶数与一个奇数的差一定是奇数。
所以，上式就相当于把A分解成两个同奇或同偶的因数的乘积。所以，我们就把研究什么样的A可以写成两个平方数的差这个问题，转换成为研究什么样的A可以分解成两个同奇或同偶的正整数的乘积。
我们一个个来考虑正整数。1显然不行。2呢？2只可能分解成2×1这一种，但2与1不同奇偶，所以，2是不可能写成两个平方数的差的。接着考虑3。3=3×1，只有这一种分解。但3与1同是奇数，符合要求。我们一般可以把两个数中较大的一个设为x＋y，较小的一个设为x－y。这里，设x＋y=3，x－y=1。一定可以解出x和y。x=2，y=1。2的平方等于4，1的平方等于1。所以，3=4－1。
我们知道，每个奇数都可以分解成两个奇数的乘积，并且除1以外的每个奇数一定能够分解成两个不同奇数的乘积。所以，一切奇数都可以写成两个平方数的差。举几个例子。奇数29，它可以分解成29×1。那么x－y=1，即x比y大1，所以，x=15，y=14。验证一下，15的平方等于225，14的平方等于196，那么，225－196=29。没有问题。再比如51。51=51×1，于是得x=26，y=25。26的平方等于676，25的平方等于625，676－625=51。正确。（但是，不能总是奇数本身乘以1这一种分解。51还等于17×3。于是有x比y大3，从而x=10，y=7。10的平方100减去7的平方49等于51。也就说，一个数是有可能有不只一种写成两平方数之差的方式。比如这里的51=26^2－25^2；51=10^2－7^2。）
有几种不同表示方式，我们先不管。我们还是先来研究什么样的正整数可以写成两个平方数的差（有一种就算）。
刚才研究好了，所有大于1的奇数（3,5,7,9，…）都符合要求。现在来看一看偶数。2刚才说过了，不行，应该是因为2太小了吧。然后是偶数4。4=4×1=2×2。只有2×2符合同奇同偶的要求。但x＋y与x－y不可能相等（除非y=0，但这就没有意思了），所以4=2×2这种分解虽然是两偶，仍然不符合要求。再看偶数6。6=6×1=3×2，都是一奇一偶，不符合要求。
再看偶数8。8=8×1，分解成奇乘偶，不行。8=4×2，偶乘偶，且4不等于2，所以这个分解可行。确实可行，可以设x＋y=4，x－y=2。于是x=3，y=1。3的平方9减去1的平方1等于8。没问题。
偶数（本文中都是指正偶数）可以分成两类，一类是4的倍数，即4k(k=1,2,3,…)；具体来说就是4,8,12,16,20，…。另一类是4的倍数减2，即4k－2（k=1,2,3,…）；具体来说就是2,6,10,14,18，… 。先说4k－2这一类。4k－2=2(2k－1)，即奇数与2的乘积。不管把它怎么分解，2这个唯一的偶因数，或者是被分解成的两个因数之一，或者是被分解成的因数的因数，不管哪种情况，被分解成的两个因数一定是一个偶数（有2）一个奇数（无2）。所以一切“奇数的2倍”都是不可以表示成两个平方数的差。具体来说，这些4k－2形式的偶数是：2,6,10,14,18，…。
最后，来看一看4k形式的偶数。它们是4,8,12,16,20，… 。A取4，我们刚才说过了。然后是8，刚才也说过了。再看12。显然，4是它的一个因数，而4又等于2×2，那么我们一定可以把12分解成2乘以另一个不同于2的偶数(2×3)。也就是说，12可以分解成两个不同的偶数的乘积。大于12的其他4k形式的偶数同样可以分解成2与另一个比2大的偶数的乘积。总之，12以上的4k形式的偶数都能够分解成两个不同的偶数的乘积。于是，加上刚才说过的8（也是4k形式），我们就得出：除4以外的一切4k形式的偶数都可以表示为两个平方数的差。
总结：（1）3及3以上的所有奇数都可以表示为两个平方数的差。（2）8及8以上所有4k形式的偶数都可以表示为两个不同平方数的差。（3）除(1)和(2)以外的其他正整数都不可能表示成两平方数的差。
这个问题得以完美解决。这个问题的逻辑性极强，是锻炼思维的好问题。
限 时 特 惠： 本站每日持续更新海量各大内部创业教程，永久会员只需98元，全站资源免费下载 点击查看详情
站 长 微 信： thumbxmw
