【摘要】运用余数周表的递变规律和性质[1]全方位地剖析“大衍求一术”（以下简称“求一术”）古老的算法步骤和程序，一针见血地指出：“求一术”千百年来的解法，得不到实质性的进展和突破的主要原因，受制于一个错误的余数表达式而产生的一个错误的余数符号。余数周期表的理论彻底纠正了这个符号，使“求一术”的解法由单一渠道、唯一解法顺理成章地发展为无穷的解题渠道和无以数计的解题方法。[2]结束了一次同余方程不可能用公式一次计算的历史。[3]八百多年的历史苍桑，“求一术”一个错误的符号，给人们留下了一个悔恨交加的千古遗憾，也给人们留下了无尽的沉思、惋惜和遐想。
【关键词】大衍求一术 符号 余数周期表 纠正 遗憾
“大衍求一术”是我国南宋数学家秦九韶（公元1202-1261）发明的求解一次同余方程的方法，他是世界上第一个用系统的理论和方法解决一次同余式组，首创了一次同余理论的先河，取得了当时世界数学领域中的最高成就。秦九韶之后，“求一术”的解法引发了中外许多数学家的极大兴趣，中国的黄宗宪、焦循、骆腾凤、李善兰……等人都曾对“求一术”进行研究整理，简化和改进。德国著明数学家康托（1829-1920）高度评价“大衍求一术”，称赞“发现这一方法的数学家是最幸运的天才”。直到今天，1973年美国出版了一部数学著作叫《十三世纪的中国数学》，作者力勃雷希（比利时人）高度赞扬秦九韶在一次同余理论方面的成就。由于秦九韶在不定分析方面的著作年代最为久远（比高斯和欧拉要早500余年），解法独特，确实也是世界上最伟大的数学家之一，世界数学史家一致公认把“大衍求一术”开劈的一次同余理论命名为《中国剩余定理》，“求一术”在世界数学史上的崇高地位，毋庸置疑。
1、“大衍求一术”的解法留下的历史谜团。
“求一术”是世界数学的瑰宝，凝聚着中国古代数学文化精华。但是，它那奇特巧妙的解法也给人们留下了许多难解的历史谜团和种种不可思议的怪异现象。“求一术”的实质素数是什么意思，就是求一整数X满足一次同余方程ax≡1（modm），其中a、m是满足互质的两个不等的自然数，秦九韶在《数书九章》中称a为奇数，称模数“m”为“定数，把要求的X称为“乘率”，据有关专家考证：古老的“求一术”
解法是在一个方盘上，右上布置奇数，右下布置定数，左上置天元“1”，然后交替进行如下的一、二部操作：（1）右下角除以右上角，余数留在右下角，商与左上角相乘加入左下角。（2）右上角除以右下角，余数留在右下角，商与左下角相乘加入左上角。这样重复操作，直致右上角为“1”时，左上角之数即为所求之值（若右下角先出现“1”，则右上角除以右下角时规定余数为“1”，商为被除数减“1”），据《数书九章》记载，其算法原文：“先以右上除
右下素数是什么意思，所得的商与左上一相生（相乘）入左下。然后，乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得的商数递互累乘，归左行上下，须使右行未后奇“1”，而止，乃验左上所得，以为乘率。”[4]。如果将上述计算步骤用现代数学算式来表达，“求一术”实际在同时进行两方面的工作，一是对奇数a，和定数m（模），实施辗转相除法，一直除到余数为“1”。另一方面则是对辗转相除的每一个除法算式产生的余数整数解Kn值进行递推式计算，一直推算到“1”的整数解。通过“1”的整数解再计算出任意指定余数的整数解获得方程结果。其计算过程可整理成左右对称的两列式，现以一实例直观性地加以说明：
例1，用“求一术”解987x≡41(mod377)绝对解
解：987-377·2=233 ……K0＝1
377=233·1+144 ……………K1＝1
233=144·1+89…… K2＝1·1+1=2
144=89·1+55……:: K3＝1·2+1=3
89=55·1+34 …….::K4＝1·3+2=5
55=34·1+21……… K5＝1·5+3=8
34=21·1+13 ……:K6＝1·8+5=13
21=13·1+8 …:…:K7＝1·13+8=21
13=8·1+5 …i:::K8＝1·21+13=34
8=5·1+3 ……:K9＝1·34+21=55
5=3·1+2…… K10＝1·55+34=89
3=2·1+ 1 …K11＝1·89+55=144
根据“求一术”规定，“1”落在K11为奇等式，此时，144并不是“1”的整数解，“1”的整数解应是（-1）11·144＝-144,故41的整数解是X＝（-144）·41＝-5904≡128（mod377）
检验适合。
“求一术”严密的构造程序，机械式的计算规则，完美的数学对称算式，令世界数学家拍案称奇，赞不绝口。但是，如果读者认真地对照分析每一步骤的算式，却会令人产生百思不得其解的谜团和一些难以解释的现象。特别是右列式的Kn值推算，其真正的计算含义和理由是什么？其推算的原理和依据如何解释？为什么当n为奇数时，除法等式的余数对应的Kn值都不是这个余数的整数解？当n为偶数时，除法等式的余数对应在的Kn值都是这个余数的整数解。秦九韶为什么在最后一步要作出一个强制性的符号规定》这个规定有什么科学依据？为什么“求一术”只能从单一“求1”渠道，唯一解法才能获得方程结果？其它余数的整数解为什么发挥不出解题效用？为什么每一个余数只能用紧邻的上一个余数作被除数？而不用其它余数作被除数？辗转相除法的计算程序是否可以打破？“求一术”的算法是否还可简化和改进？……所有这些问题，似乎是若干个世纪都悬而未决，人们也很少问津。本文将用余数周期表的理论对“求一术”的算法、步骤和程序进行全方位剖析和探究，破解“求一术”算法之谜，一针见血地指出，千百年来“求一术”的解法长期徘徊不前，得不到实质性的进展和和突破的原因，受制于一个错误的余数符号，“求一术”算法中产生的历史谜团和怪异现象，也归因于这个讨厌的余数符号。
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